Domar el infinito: cómo los matemáticos demostraron la conjetura de McKay tras 50 años de búsqueda

En 2003, la joven matemática Britta Späth ingresó al programa de doctorado en la Universidad de Kassel, donde, bajo la dirección de Gunter Malle, comenzó a trabajar en uno de los problemas más difíciles no resueltos de la teoría de grupos: la conjetura de McKay. Al principio, esperaba demostrar uno o dos teoremas que ayudarían a avanzar en la comprensión del problema, como lo habían intentado muchos matemáticos antes que ella. Pero la conjetura resultó ser tan fascinante que definió todo su futuro en la investigación.

Späth ya tenía experiencia enfrentando complejos rompecabezas matemáticos: en la escuela podía pasar semanas luchando con un solo problema, buscando enfoques no convencionales para resolverlo. "Cuando intentaba concentrarme en otra cosa, simplemente no funcionaba", recuerda la investigadora. Aunque obsesionarse con un problema tan difícil podía poner en riesgo su carrera académica, decidió arriesgarse.

Durante años de estudio, se sumergió profundamente en el análisis de representaciones de grupos, un área fundamental del álgebra abstracta. Tras defender su tesis en 2010, Späth comenzó a trabajar en la Universidad de París, donde conoció a Marc Cabanes , un experto precisamente en los grupos que eran clave para la demostración. Al principio, Cabanes se mostró escéptico ante los ambiciosos planes de su joven colega, pero poco a poco el problema lo atrapó y comenzaron a trabajar juntos. Con el tiempo, formaron una familia e incluso instalaron tres pizarras en casa para sus cálculos matemáticos.

¿Qué dice la conjetura de McKay?

En el núcleo de esta conjetura se encuentra uno de los principios fundamentales de las matemáticas: a menudo, para comprender estructuras abstractas extremadamente complejas, basta con estudiar solo una pequeña parte de ellas. La historia está llena de ejemplos de este principio en acción. Ya en el siglo III a.C., el matemático griego Eratóstenes calculó la circunferencia de la Tierra —unos 40.000 kilómetros— midiendo únicamente la sombra del Sol en dos ciudades separadas por 800 kilómetros.

Un enfoque similar se emplea en el análisis de funciones matemáticas: en muchos casos, basta con examinar su comportamiento en un conjunto reducido de valores de entrada para comprender su comportamiento general. La idea que estudiaban Britta y Marc proponía algo análogo para los grupos, una de las estructuras más importantes de la matemática moderna.

Los grupos describen simetrías y regularidades en sistemas de muy diversa índole, desde redes cristalinas hasta partículas elementales. En esencia, son conjuntos de elementos con una regla de operación que conserva ciertas propiedades invariantes.

La conjetura fue formulada en 1972 por John McKay, un matemático de la Universidad Concordia, conocido por su habilidad para encontrar sorprendentes regularidades numéricas. Sus colegas lo recuerdan como un investigador "brillante, taciturno y encantadoramente desorganizado", que ya se había hecho famoso por la conjetura de la "luna monstruosa", donde descubrió una sorprendente conexión entre un grupo de simetrías excepcional y funciones modulares de la teoría de números.

Esta vez, McKay estaba estudiando grupos finitos, es decir, aquellos con un número limitado de elementos. Mientras trabajaba con ellos, notó una regularidad asombrosa: muchas propiedades clave de un grupo podían determinarse observando solo una pequeña porción de él, construida de una manera específica.

Para entender el núcleo del problema, imaginemos un grupo con 72 elementos. El número en sí no nos dice mucho sobre su estructura, ya que existen exactamente 50 grupos diferentes con ese tamaño, cada uno con una organización interna distinta. Sin embargo, McKay se fijó en la descomposición en factores primos del número:

72=23×3272 = 2^3 \times 3^272=23×32

Esto significa que los factores primos (en este caso, 2 y 3) determinan subestructuras importantes dentro del grupo. Es posible descomponerlo en subgrupos cuyo tamaño se corresponde con las potencias de estos números primos. En nuestro ejemplo, serían subgrupos de ocho elementos (23)(2^3)(23) y de nueve elementos (32)(3^2)(32).

McKay se interesó especialmente en estructuras más complejas llamadas normalizadores de Sylow. Estos se construyen tomando una subestructura dada y añadiéndole ciertos elementos del grupo original que interactúan con ella de manera especial. Para un grupo de 72 elementos, se pueden formar varios de estos normalizadores: unos están asociados a subgrupos de ocho elementos (2-normalizadores de Sylow) y otros a subgrupos de nueve elementos (3-normalizadores).

Aquí es donde la conjetura hace su afirmación sorprendente: para determinar una característica crucial de un grupo, basta con analizar uno de sus normalizadores de Sylow. En ambos casos, esta característica resulta ser exactamente la misma. Se trata del número de representaciones irreducibles de cierto tipo, es decir, formas de expresar los elementos del grupo mediante matrices numéricas. Esta cantidad no es solo un dato estadístico: proporciona información sobre cómo los elementos del grupo interactúan entre sí y es fundamental para calcular otras propiedades importantes.

A primera vista, este resultado parece imposible. Un normalizador de Sylow puede contener menos del 1% de los elementos de un grupo grande y tener una estructura completamente diferente. "Es como si en las elecciones de EE.UU. el recuento total de votos y los resultados en un pequeño pueblo de Montana dieran exactamente la misma proporción de votos", explica Gabriel Navarro, de la Universidad de Valencia. "No parecida, no aproximadamente igual. Exactamente la misma".

Medio siglo de trabajo y una clave inesperada

Un año después del descubrimiento de McKay, el matemático Marty Isaacs dio el primer gran paso al demostrar que la conjetura era válida para una amplia clase de grupos. Sin embargo, la comunidad matemática pronto se encontró en un callejón sin salida. Podían probar la conjetura para ciertos grupos individuales, pero quedaban infinitos casos aún sin resolver.

El siguiente gran avance ocurrió en 2004, cuando se completó un colosal proyecto matemático que había tomado más de un siglo: la clasificación completa de todos los grupos finitos simples. Estas estructuras fundamentales, que funcionan como los "ladrillos" de cualquier grupo finito, resultaron encajar en cuatro categorías principales.

Tres de estas categorías contienen familias naturales de grupos con patrones bien definidos. Entre ellas se encuentran los grupos cíclicos de orden primo, los grupos alternados y los grupos de tipo Lie, estructuras estrechamente relacionadas con simetrías geométricas. Sin embargo, quedaban 26 casos excepcionales que no encajaban en ninguna de estas categorías y que poseían propiedades únicas.

Esta clasificación permitió a Isaacs, Navarro y Malle desarrollar un nuevo enfoque para abordar la conjetura de McKay. Descubrieron que si lograban demostrar un enunciado más fuerte para los grupos simples de la clasificación, la conjetura automáticamente se cumpliría para todos los grupos finitos.

La idea clave era que las representaciones del grupo y las de su normalizador de Sylow no solo debían coincidir en número, sino que debía existir una correspondencia específica entre ellas. Cada representación del grupo debía tener un análogo en el normalizador con las mismas características clave: dimensión, valores característicos y comportamiento bajo ciertas operaciones.

El método funcionó para la mayoría de los casos, pero un grupo de estructuras se resistía: los grupos de tipo Lie. Estas estructuras, nombradas en honor al matemático noruego Sophus Lie, describen simetrías continuas en objetos geométricos y son tan complejas que su análisis requiere herramientas avanzadas de geometría algebraica y teoría de caracteres.

Aquí es donde la intuición de Späth resultó crucial. Para 2018, ella y su esposo habían demostrado la conjetura para tres de las cuatro clases de grupos de tipo Lie. La última categoría les tomó seis años más.

En octubre de 2023, presentaron la prueba ante más de cien matemáticos, y un año después la publicaron en acceso abierto . Sin embargo, aún queda un misterio sin resolver: ¿por qué existe esta extraña coincidencia descubierta por McKay? Aunque ahora sabemos que es real, los investigadores todavía no comprenden por qué una parte tan pequeña puede revelar tanto sobre el todo.

"Cuando resuelves algo tan monumental, es difícil encontrar el coraje y la inspiración para el siguiente desafío", admite Späth. "Fue una lucha ardua, pero le dio sentido a cada día".