¿Cómo descubrir cualquier fórmula matemática secreta con solo dos preguntas?

Una fórmula matemática secreta se puede revelar por completo formulando solo dos preguntas. Y no importa cuántas incógnitas tenga ni cuán grandes sean los exponentes de la variable. Los autores de un inusual rompecabezas mostraron cómo reconstruir incluso una expresión muy compleja a partir de dos resultados de cálculo. Y si se usa el número π, teóricamente basta con una pregunta.

Imaginen un juego: una persona inventa una fórmula y no la muestra a nadie, y otra intenta adivinar el secreto. Se permite nombrar cualquier número entero no negativo que se sustituirá por x, y conocer el resultado. Se puede hacer la consulta solo dos veces, y la segunda pregunta se puede elegir después de la primera respuesta.

Hay una condición. La fórmula pensada debe ser un polinomio, por ejemplo 8x³ + 17x + 9. Todos los coeficientes, es decir los números delante de la variable, deben ser enteros y no negativos. Los exponentes de x también solo pueden ser números enteros no negativos. Además, la cantidad de términos, los valores de los coeficientes y el grado máximo son desconocidos de antemano.

A primera vista, el problema parece desesperado. ¿Cómo conocer decenas o incluso cientos de números desconocidos obteniendo solo dos respuestas? Pero los polinomios tienen una propiedad curiosa que permite sortear la limitación.

La primera pregunta es extremadamente simple: ¿a cuánto equivale la fórmula para x = 1? Cualquier potencia de uno vuelve a ser uno, por lo que el resultado mostrará la suma de todos los coeficientes. Como los números negativos están prohibidos, ningún coeficiente puede ser mayor que la suma obtenida.

Supongamos que la respuesta es 8. Entonces cada coeficiente cabe en una cifra decimal. Ahora basta preguntar a cuánto equivale la fórmula para x = 10. La astucia está en que el segundo resultado revelará de inmediato todos los coeficientes desconocidos escritos seguidos.

Como ejemplo tomemos la fórmula secreta 2x⁵ + x³ + 3x² + 2. Al sustituir uno se obtiene 8, y al sustituir diez sale 201302. La secuencia de dígitos revela por completo la expresión original. El primer dos indica el coeficiente de x⁵, el siguiente cero muestra la ausencia de x⁴, el uno corresponde a x³, el tres se refiere a x², otro cero indica la ausencia de x, y el último dos es el término independiente.

El método funciona también con coeficientes mayores. Si la primera respuesta es 27, para la segunda pregunta hay que elegir x = 100. Entonces cada coeficiente ocupará dos cifras, y basta dividir el resultado en pares empezando por la derecha. Para sumas aún mayores sirven 1000, 10000 y otras potencias de diez. Lo principal es que el número elegido exceda la suma de los coeficientes.

Pero el acertijo tiene una solución mucho más inesperada. Si las reglas permiten sustituir cualquier número, incluidos los fraccionarios, toda la fórmula teóricamente se puede conocer con una sola consulta. Para ello basta elegir x = π, ese mismo número pi conocido por todos por la geometría escolar.

El secreto está en una propiedad particular de π. Los matemáticos lo clasifican entre los números trascendentes, que no pueden ser raíces de polinomios no nulos con coeficientes enteros. Debido a esta propiedad, dos polinomios diferentes con coeficientes enteros nunca darán exactamente el mismo resultado al sustituir π. Cada fórmula admisible dejará su propia huella numérica única.

Supongamos que al sustituir π se obtiene un resultado aproximado de 54,44. Ya se puede asegurar con confianza que ningún coeficiente supera 54 y que en la fórmula no hay exponentes superiores al tercero. Pues incluso π⁴ es aproximadamente 97,41, que es mayor que el resultado obtenido. Queda recorrer un número finito de expresiones apropiadas y encontrar la única que da el resultado deseado.

Sin embargo, la solución con el número pi tiene un serio inconveniente. Será necesario conocer la respuesta con absoluta precisión, y una calculadora corriente muestra solo un número limitado de cifras decimales. Diferentes fórmulas pueden dar resultados tan cercanos que el ordenador no podrá distinguirlos con precisión insuficiente en los cálculos.

Por eso la opción de dos consultas enteras es mucho más conveniente: permite reconstruir la fórmula de forma garantizada sin fracciones decimales infinitas. El acertijo muestra de forma clara cómo una elección ingeniosa de solo dos números permite obtener información que, al parecer, habría requerido cientos de preguntas separadas.