Apuestas, deudas y la correspondencia de dos genios: cómo una disputa por 100 dólares dio origen a la matemática moderna
¿Te estafaron? Pascal y Fermat saben cómo dirimir la disputa con ayuda de las matemáticas.
A veces una disputa por dinero cambia el curso de la historia. En la época del Renacimiento los jugadores no podían repartir el bote tras una partida interrumpida, y fue justamente una disputa así la que dio origen a teoría de probabilidades.
Imaginemos un juego sencillo. Dos personas aportan 50 dólares cada una y lanzan una moneda. Cara otorga un punto a uno, cruz al otro. Gana quien primero alcance 10 puntos y se lleva todo el bote. El marcador ya es 8:6, pero la partida se interrumpe de forma inesperada. El líder no quiere entregar la mitad, el que va atrás no está dispuesto a cederlo todo. Surge la pregunta: ¿cómo repartir el dinero de forma justa?
A este problema se le llamó “el problema de los puntos”. Los matemáticos no pudieron resolverlo durante más de 150 años. En el siglo XV el italiano Luca Pacioli propuso dividir el dinero proporcionalmente al marcador actual. Con 8:6 el vencedor habría recibido 8/14 del bote, unos 57 dólares. La solución parece lógica, pero da resultados extraños. Si la partida se interrumpiera después de un solo lanzamiento, el vencedor se llevaría todo, aunque el resultado aún esté lejos de decidirse.
Más tarde Niccolò Tartaglia propuso otro enfoque. Él miraba no las jugadas pasadas, sino cuánto faltaba para la victoria. El líder recibe su propia apuesta más una parte de la apuesta del oponente proporcional a la ventaja. Esa variante funciona mejor en casos simples, pero falla con números grandes. Por ejemplo, con 199:190 en un juego hasta 200 puntos el líder obtendría una cantidad absurda, aunque tenga casi garantizada la victoria.
Pusieron fin a la discusión los matemáticos franceses del siglo XVII: Blaise Pascal y Pierre de Fermat. Su correspondencia marcó un punto de inflexión. En lugar de fijarse en el pasado, propusieron evaluar el futuro. Hay que tener en cuenta todas las posibles continuaciones del juego y calcular en cuántos casos ganaría cada jugador.
Fermat propuso literalmente enumerar todas las variantes. Con 8:6 la partida terminaría como máximo en cinco lanzamientos. En total hay 32 combinaciones de ese tipo. En 26 casos ganaría el líder, en 6 su oponente. Por tanto, el primero debería recibir el 81,25% del bote.
Pascal adoptó otro enfoque. Razonaba paso a paso, desde situaciones simples hasta las complejas. Si el marcador está empatado, el dinero se divide por la mitad. Si uno va 9:8, tiene un 50% de probabilidad de ganar de inmediato y un 50% de que el juego quede empatado; en promedio eso equivale a 75 dólares. Siguiendo ese mismo razonamiento, Pascal llegó al mismo resultado que Fermat.
Ambos matemáticos formularon en la práctica la idea clave: la parte justa la determinan todos los posibles desenlaces y su probabilidad. Hoy en día a esa valoración se le llama valor esperado. Con el tiempo este enfoque se extendió mucho más allá de los juegos de azar. Las compañías de seguros calculan los pagos con los mismos principios. Los analistas valoran las acciones de forma similar. En cualquier situación de riesgo hay que sopesar los posibles resultados y su probabilidad.