Un beso en 17 dimensiones: la tarea de Newton sobre las esferas se rinde a un nuevo método

En mayo de 1694, en un aula de la Universidad de Cambridge, Isaac Newton y el astrónomo David Gregory mantuvieron una conversación que definiría el rumbo de las matemáticas durante siglos. Los detalles exactos del diálogo son vagos y en parte probablemente apócrifos. Comenzaron discutiendo el movimiento de estrellas de diferentes tamaños alrededor de un sol central y llegaron a un problema geométrico fundamental que dio origen a todo un campo en matemáticas.

La cuestión parecía sencilla: ¿cuántas esferas idénticas se pueden colocar alrededor de una esfera central de manera que cada una la toque en un único punto sin solaparse entre sí? En un espacio tridimensional, es posible colocar 12 esferas alrededor de una central, pero entre ellas quedan huecos. Gregory creía que se podía agregar una decimotercera esfera en esos vacíos, mientras que Newton consideraba que era imposible. Así surgió el "problema del número de besos" (llamado así por el contacto entre las esferas, similar a un "beso" entre bolas de billar).

El problema resultó tan complejo que a los matemáticos les tomó casi tres siglos probar que Newton tenía razón. No fue hasta 1952 que se confirmó matemáticamente que en un espacio tridimensional el número máximo de "besos" es 12. Desde entonces, este concepto ha encontrado aplicaciones prácticas en el análisis de estructuras atómicas, la construcción de códigos de corrección de errores y otras áreas científicas.

¿Y en otras dimensiones? En dos dimensiones, la solución es elemental: alrededor de una moneda en una mesa se pueden colocar exactamente seis monedas idénticas, formando un patrón similar a una margarita.

Sin embargo, al aumentar la dimensión, la dificultad del problema crece exponencialmente. Se han encontrado soluciones exactas para espacios de cuatro, ocho y veinticuatro dimensiones, donde las esferas se organizan en estructuras reticulares con simetrías sorprendentes.

A mediados del siglo XX, los matemáticos encontraron un enfoque inesperado para resolver este rompecabezas mediante la teoría de la información. Notaron que los códigos utilizados para recuperar mensajes en caso de errores durante la transmisión de datos estaban estrechamente relacionados con la geometría de las esferas: cada mensaje codificado representa el centro de una esfera en un espacio multidimensional. Si las interferencias distorsionan el mensaje, este aún puede ser recuperado si permanece dentro de su "esfera" correspondiente.

En 1967, el matemático John Leech utilizó un código extremadamente eficiente para construir una retícula de puntos, posteriormente llamada la "retícula de Leech". Este mismo código fue empleado más tarde por la NASA para comunicarse con las sondas Voyager. Décadas después, se demostró que en un espacio de 24 dimensiones, la retícula de Leech permite empaquetar esferas tan densamente que cada una toca a 196,560 vecinas.

En la primavera de 2022, Anqi Li , estudiante del MIT, desafió las tradiciones al evitar buscar estructuras simétricas. Durante las clases, trató de imaginar configuraciones multidimensionales, pero resultó ser una tarea demasiado compleja. Su supervisor le sugirió trabajar con dimensiones más altas, donde los resultados eran más accesibles. Sin embargo, Li se interesó específicamente en las dimensiones entre 17 y 23, un área en la que nadie había logrado avances significativos.

Primero, Li abordó el problema en 16 dimensiones, donde ya existía una solución conocida: la retícula Barnes-Wall, creada en los años 50 mediante un código matemático especial. Estas retículas tienen una propiedad importante: al determinar la posición del centro de cada esfera, el número de coordenadas negativas siempre debe ser par. Las esferas se organizan simétricamente y no se superponen.

Li decidió experimentar con un número impar de coordenadas negativas. En 16 dimensiones, el enfoque no funcionó. Pero al aplicarlo al espacio de 17 dimensiones, aparecieron espacios libres entre las esferas, lo que permitió agregar más sin alterar la estructura general.

Inicialmente, Li dudaba de sus propios cálculos. Comentó a sus amigos que probablemente había cometido un error aritmético básico. Incluso su supervisor, el profesor Henry Cohn, recibió el trabajo con escepticismo: en estos cálculos es fácil equivocarse, especialmente cuando se desea encontrar una solución.

Una pasantía en Microsoft Research permitió al equipo refinar los códigos de corrección utilizados. Sistemáticamente, añadieron esferas compatibles a la estructura "impar" de 17 dimensiones de Li. Finalmente, lograron agregar 384 esferas adicionales, elevando el límite inferior del número de contactos de 1967 a 5730. En el espacio de 17 dimensiones, las esferas pueden formar hasta 10,978 contactos, lo que sugiere que aún hay margen para mejorar.

El método de Li también funcionó para espacios de 18 a 21 dimensiones, pero no pudo aplicarse más allá. Las configuraciones obtenidas difieren notablemente de las simétricas tradicionales basadas en la retícula de Leech.

Li no es la primera en desviarse de los cánones. Recientemente, el matemático húngaro Ferenc Sölösi utilizó una disposición imperfecta de esferas en cuatro dimensiones para construir una nueva configuración en cinco dimensiones. Hasta entonces, solo se conocían dos soluciones posibles en cinco dimensiones, y Sölösi encontró una tercera. Más tarde, se descubrió que otro equipo había llegado a la misma configuración, pero no reconoció su importancia.

La relevancia de estos estudios trasciende la geometría pura. Las mejoras en las estimaciones del número de contactos tienen aplicaciones en cristalografía, teoría de códigos y diseño de sistemas de comunicación. En más de tres siglos, un problema nacido de una discusión astronómica se ha convertido en una poderosa herramienta para comprender la estructura del espacio y la materia.